© 2017 Тетрадка в клеточку. Все права защищены.
Сделано Янчевым Николаем!
Решение уравнений sin x = 0, sin x = 1, sin x = -1, cos x = 0, cos x = 1, cos x = -1
Рисунок 1
1. Решение уравнения sin x = 0.

Построим числовую окружность на координатной плоскости. Так как ось синусов соответствует оси OY, отметим на числовой окружности точки A0 (1; 0) и Aπ (-1; 0), у которых координата y равна 0 (рисунок 1). Корнями уравнения sinx = 0 является множество чисел, которым соответствуют эти точки. Очевидно, что все числа этого множества кратны π. Записать такой результат можно следующим образом: 

xπn, где n ∈ Z (дословно xπn, где n принадлежит множеству целых чисел).

2. Решение уравнения sin x = -1.

На числовой окружности отметим точку  (рисунок 1). Это единственная точка на окружности у которой координата y равна -1, поэтому множество чисел, которым соответствует эта точка числовой окружности и есть корни уравнения sinx = -1. Одно из чисел этого множества: -π/2. Все остальные корни уравнения отличаются от -π/2 на значение кратное 2π, а значит ответ можно записать в виде:

x = -π/2 + 2πn, где n ∈ Z.

3. Решение уравнения sin x = 1.

На числовой окружности с координатой y равной 1 можно отметить только одну точку Aπ/2 (0; 1) (рисунок 1). Она соответствует множеству чисел, одно из которых π/2. Это множество является корнями уравнения sinx = 1. Все остальные корни уравнения отличаются от π/2 на значение кратное 2π, а значит ответ можно записать в виде:

x = π/2 + 2πn, где n ∈ Z.

4. Решение уравнения cos x = 0.

Так как ось косинусов связывают с осью OX, корнями уравнения cosx = 0 является множество чисел, которым соответствуют точки числовой окружности Aπ/2 (0; 1) и A−π/2 (0; -1), у которых координата x равна 0 (рисунок 1). π/2 одно из чисел этого множества. Все остальные корни отличаются от π/2 на значение кратное π, поэтому корнями уравнения cosx = 0 являются:

x = π/2 + πn, где n ∈ Z.

5. Решение уравнения cos x = -1.

Корнями уравнения cosx = -1 является множество чисел, которым соответствует точка числовой окружности Aπ (-1; 0), у которой координата x равна 1 (рисунок 1). π - одно из чисел множества. Все остальные корни отличаются от π на значение кратное 2π, поэтому корнями уравнения cosx = -1 являются

x = π + 2πn, где n ∈ Z.

6. Решение уравнения cos x = 1.

Корнями уравнения cosx = 1 является множество чисел, которым соответствует точка числовой окружности A0 (1; 0), у которой координата x равна 1 (рисунок 1). 0 - одно из чисел множества. Все остальные корни отличаются от 0 на значение кратное 2π, поэтому корнями уравнения cosx = 1 являются: 

x = 2πn, где n ∈ Z.

Решение уравнений sin x = 1/2, sin x = корень из 3 на 2, sin x = корень из 2 на 2, sin x = -1/2, sin x = минус корень из 3 на 2, sin x = минус корень из 2 на 2
Рисунок 2
7. Решение уравнения sin x = 1/2.

Отметим на числовой окружности точки с координатой y равной 1/2. Это точки Aπ/6 (√3/2; 1/2) и A5π/6 (-√3/2; 1/2) (рисунок 2). Эти точки соответствуют числам π/6 и 5π/6, а значит, всем числа видам π/6 + 2πn и 5π/6 + 2πn, где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = (−1)nπ/6+πn, где n ∈ Z.

8. Решение уравнения sin x = √2/2.

Отметим на числовой окружности точки с координатой y равной √2/2. Это точки Aπ/4 (√2/2; √2/2) и A3π/4 (-√2/2; √2/2) (рисунок 2). Эти точки соответствуют числам π/4 и 3π/4, а значит, всем числа видам π/4 + 2πn и 3π/4 + 2πn, где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = (−1)nπ/4+πn, где n ∈ Z.

9. Решение уравнения sin x = √3/2.

Отметим на числовой окружности точки с координатой y равной √3/2. Это точки Aπ/3 (1/2; √3/2) и A2π/3 (-1/2; √3/2) (рисунок 2). Эти точки соответствуют числам π/3 и 2π/3, а значит, всем числам вида π/3 + 2πn и 2π/3 + 2πn, где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = (−1)nπ/3+πn, где n ∈ Z.

10. Решение уравнения sin x = −1/2.

Отметим на числовой окружности точки с координатой y равной −1/2. Это точки A−π/6 (√3/2; −1/2) и A−5π/6 (−√3/2; −1/2) (рисунок 2). Эти точки соответствуют числам −π/6 и −5π/6, а значит, всем числам вида −π/6 + 2πn и , где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = (−1)n+1π/6+πn, где n ∈ Z.

11. Решение уравнения sin x = −√2/2.

Отметим на числовой окружности точки с координатой y равной −√2/2. Это точки A−π/4 (√2/2; −√2/2) и A−3π/4 (−√2/2; −√2/2) (рисунок 2). Эти точки соответствуют числам −π/4 и −3π/4, а значит, всем числам вида −π/4 + 2πn и −3π/4 + 2πn, где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = (−1)n+1π/4+πn, где n ∈ Z.

12. Решение уравнения sinx=-√3/2.

Отметим на числовой окружности точки с координатой y равной −√3/2. Это точки A−π/3 (1/2; −√3/2) и A−2π/3 (−1/2; −√3/2) (рисунок 2). Эти точки соответствуют числам −π/3 и −2π/3, а значит, всем числам вида −π/3 + 2πn и −2π/3 + 2πn, где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = (−1)n+1π/3+πn, где n ∈ Z.

Решение уравнений cos x = 1/2, cos x = корень из 3 на 2, cos x = корень из 2 на 2, cos x = -1/2, cos x = минус корень из 3 на 2, cos x = минус корень из 2 на 2
Рисунок 3
13. Решение уравнения cos x = 1/2.

На числовой окружности у точек Aπ/3 (1/2; √3/2)  и A−π/3 (1/2; −√3/2) координата x равна 1/2 (рисунок 3). Эти точки соответствуют числам π/3 и −π/3, а значит, всем числам вида π/3 + 2πn и −π/3 + 2πn, где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = ±π/3+2πn, где n ∈ Z.

14. Решение уравнения cos x = √2/2.

На числовой окружности у точек Aπ/4 (√2/2; √2/2)  и A−π/4 (√2/2; −√2/2) координата x равна √2/2 (рисунок 3). Эти точки соответствуют числам π/4 и −π/4, а значит, всем числам вида π/4 + 2πn и −π/4 + 2πn где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = ±π/4+2πn, где n ∈ Z.

15. Решение уравнения cos x = √3/2.

На числовой окружности у точек Aπ/6 (√3/2; 1/2)  и A−π/6 (√3/2; −1/2) координата x равна √3/2 (рисунок 3). Эти точки соответствуют числам π/6 и −π/6, а значит, всем числам вида π/6 + 2πn и −π/6 + 2πn, где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = ±π/6+2πn, где n ∈ Z.

16. Решение уравнения cos x = −1/2.

На числовой окружности у точек A2π/3 (-1/2; √3/2)  и A−2π/3 (−1/2; −√3/2) координата x равна −1/2 (рисунок 3). Эти точки соответствуют числам 2π/3 и −2π/3, а значит, всем числам вида 2π/3 + 2πn и −2π/3 + 2πn, где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = ±2π/3+2πn, где n ∈ Z.

17. Решение уравнения cos x = −√2/2.

На числовой окружности у точек A3π/4 (-√2/2; √2/2)  и A−3π/4 (−√2/2; −√2/2) координата x равна −√2/2 (рисунок 3). Эти точки соответствуют числам 3π/4 и −3π/4, а значит, всем числам вида 3π/4 + 2πn и −3π/4 + 2πn, где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = ±3π/4+2πn, где n ∈ Z.

18. Решение уравнения cos x =−√3/2.

На числовой окружности у точек A5π/6 (-√3/2; 1/2)  и A−5π/6 (−√3/2; −1/2) координата x равна −√3/2 (рисунок 3). Эти точки соответствуют числам 5π/6 и −5π/6, а значит, всем числам вида 5π/6 + 2πn и , где n ∈ Z. Ответ можно записать в виде:

x = ±5π/6+2πn, где n ∈ Z.