© 2017 Тетрадка в клеточку. Все права защищены.
Сделано Янчевым Николаем!

Определим понятие табличного угла. Табличным углом назовем углы кратные значениям π/6 или π/4. К примеру: 0, π/6, π/4, π/3, π/22π/3 и т.д.; в градусах: 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° и т.д. Модули возможных значений синусов и косинусов для табличных углов нужно будет запомнить. Радует, что их всего пять: 0; 1/2; √2/2; √3/2; 1. Я расположил их в порядке возрастания.

Рекомендую вооружиться тетрадкой в клеточку, линейкой, циркулем, карандашом и ластиком и выполнить построение своими руками. Это поможет вам лучше усвоить материал.

1. Первым делом, с помощью циркуля построим окружность с центром в точке О. Радиус окружности должен быть кратен двум клеткам. У меня он равен четырем, так, как это показано на рисунке 1.

Окружность с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки
Рисунок 1

2. С помощью линейки построим координатную плоскость с началом координат в точке О и единичным отрезком длина которого равна радиусу окружности, так, как это показано на рисунке 2. Напомню, что горизонтальная ось - это ось косинусов, а вертикальная - ось синусов.

Числовая окружность с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости
Рисунок 2

3. На окружности в правом пересечении с осью косинусов, отметим точку А0. На числовой окружности точке А0 соответствуют значения кратные 2π. Рассмотрим значения углов в промежутке от 0 до 2π. В этом случае точке А0, соответствуют углы 0 и 2π и она ограничивает рассматриваемый промежуток с обоих концов. Множество значений принадлежащих промежутку соответствуют всем остальным точкам окружности. Координаты точки А0(1; 0), значит cos0 = 1, а sin0 = 0. Занесем полученный результат в таблицу. Выполненные в п.3 действия проиллюстрированы на рисунке 3.

Точки на числовой окружности с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости и таблица соответствия углов и их синусов и косинусов
Рисунок 3

4. В верхней полуокружности, через середину единичного отрезка оси синусов построим перпендикуляр a1. Он пересечет окружность в I и II четверти. В I четверти точку пересечения перпендикуляра с окружностью обозначим А1. Через точку A1 на ось косинусов опустим другой перпендикуляр b1. Проекцию точки A1 на оси косинусов обозначим B1. У прямоугольного ΔA1B1O катет A1B1 в 2 раза меньше гипотенузы OA1 (OA1 радиус равный 1) из чего следует, что угол B1OA1 равен 30°. Следовательно точке А1 на числовой окружности соответствует значение π/6. По теореме Пифагора найдем OB1:

OB1 = корень из OA1 в квадрате минус A1B1 в квадрате = корень из 1 минус одна вторая в квадрате = корень из 1 минус одна четвертая = корень из трех на два

Таким образом координаты точки А1(√3/2; 1/2). Следовательно cosπ/6 = √3/2, а sinπ/6 = 1/2. Выполненные в п.4 действия проиллюстрированы на рисунке 4.

Точки на числовой окружности с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости и таблица соответствия углов и их синусов и косинусов
Рисунок 4

5. По диагоналям клеточек через точку О построим прямую пересекающую I и III четверть координатной плоскости. В I четверти точку пересечения прямой и окружности обозначим А2. Угол соответствующей этой точке окружности равен 45° или π/4 радиан. Из точки А2 опустим перпендикуляры a2 на ось синусов и b2 на ось косинусов. Проекцию точки А2 на ось косинуса обозначим B2. Прямоугольный ΔA2B2O - равнобедренный, его катеты равны друг другу. По теореме Пифагора

OB2 = A2B2 = корень из OA2 в квадрате на 2 = 1 на корень из 2 = корень из 2 на 2

Таким образом координаты точки А2 (√2/2; √2/2). Следовательно cos π/4 = √2/2, а sin π/4 = √2/2. Выполненные в п.5 действия проиллюстрированы на рисунке 5.

Точки на числовой окружности с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости и таблица соответствия углов и их синусов и косинусов
Рисунок 5

6. В правой части окружности, через середину единичного отрезка оси косинусов проведем перпендикуляр, пересекающий окружность в I и IV четверти. Точку пересечения перпендикуляра и окружности в I четверти обозначим А3. Из точки А3 опустим перпендикуляры a3 на ось синусов и b3 на ось косинусов. Проекцию точки А3 на ось косинуса обозначим B3. У прямоугольного ΔA3B3O катет OB3 в 2 раза меньше гипотенузы OA3 (OA3 радиус равный 1) из чего следует, что угол B3A3O равен 30°, а угол B3OA3 равен 60°. Следовательно точка А3 на числовой окружности соответствует значению π/3. Проведем рассуждения подобные рассуждениям пункта 4 и получаем OB3 = 1/2, а B3A3 = √3/2. Следовательно координаты точки А3 (1/2; √3/2), cos π/3 = 1/2, а sin π/3 =  √3/2. Выполненные в п.6 действия проиллюстрированы на рисунке 6.

Точки на числовой окружности с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости и таблица соответствия углов и их синусов и косинусов
Рисунок 6

7. Пересечение оси синусов с верхней частью окружности обозначим А4. Положение точки А4 на числовой окружности соответствует значению π/2. Координаты точки А4(0; 1), следовательно cos π/2 = 0, а sin π/2 = 1. Выполненные в п.7 действия проиллюстрированы на рисунке 7.

Точки на числовой окружности с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости и таблица соответствия углов и их синусов и косинусов
Рисунок 7

8. Пересечение перпендикуляра a3 с окружностью во II четверти обозначим А5. Через А5 построим прямую b5 перпендикулярную оси косинусов. Точку пересечения прямой b5 с осью косинусов обозначим, как B5. ΔA5B5O = ΔA3B3O по катету и гипотенузе, а значит B5O = B3O и угол B5OA5 равен углу B3OA3. Следовательно точке А5 на числовой окружности соответствует значение π - π/3 = 2π/3, OB5 = 1/2, а B5A5 = √3/2. Следовательно координаты точки А5 (-1/2; √3/2), cos 2π/3 = -1/2, а sin 2π/3 = √3/2. Выполненные в п.8 действия проиллюстрированы на рисунке 8.

Точки на числовой окружности с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости и таблица соответствия углов и их синусов и косинусов
Рисунок 8

9. Пересечение перпендикуляра a2 с окружностью во II четверти обозначим А6. Через А6 построим прямую b6 перпендикулярную оси косинусов. Точку пересечения прямой b6 с осью косинусов обозначим, как B6. ΔA6B6O = ΔA2B2O по катету и гипотенузе, а значит B6O = B2O и угол B6OA6 равен углу B2OA2. Следовательно точке А6 на числовой окружности соответствует значение π - π/4 = 3π/4, OB6 = B6A6 = √2/2. Следовательно координаты точки А6 (-√2/2; √2/2), cos 3π/4 = -√2/2, а sin 3π/4 = √2/2. Выполненные в п.9 действия проиллюстрированы на рисунке 9.

Точки на числовой окружности с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости и таблица соответствия углов и их синусов и косинусов
Рисунок 9

10. Пересечение перпендикуляра a1 с окружностью во II четверти обозначим А7. Через А7 построим прямую b7 перпендикулярную оси косинусов. Точку пересечения прямой b7 с осью косинусов обозначим, как B7. ΔA7B7O = ΔA1B1O по катету и гипотенузе, а значит B7O = B1O и угол B7OA7 равен углу B1OA1. Следовательно точке А7 на числовой окружности соответствует значение π - π/6 = 5π/6, OB7 = -√3/2, а B7A7 = 1/2. Следовательно координаты точки А7(-√3/2; 1/2), cos 5π/6 = -√3/2, а sin 5π/6 =  1/2. Выполненные в п.10 действия проиллюстрированы на рисунке 10.

Точки на числовой окружности с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости и таблица соответствия углов и их синусов и косинусов
Рисунок 10

11. В левом пересечении окружности с осью косинусов, отметим точку А8. На числовой окружности точке А8 в заданном промежутке соответствует значение π. Координаты точки А8(-1; 0), значит cosπ = -1, а sinπ = 0. По аналогии с I и II четвертью проведем построения в III и IV четверти. Занесем полученные результаты в таблицу. Проделанные построения показаны на рисунке 11.

12. Аналогичным способом найдём синус и косинус углов, которым соответствуют точки в нижней полуокружности, как показано на рисунке 11.

Точки на числовой окружности с центром О и радиусом 4 тетрадных клетки на координатной плоскости и таблица соответствия углов и их синусов и косинусов
Рисунок 11