© 2017 Тетрадка в клеточку. Все права защищены.
Сделано Янчевым Николаем!

Назовём этот урок "Концепция числовой окружности". В этом случае по моему мнению, слово "концепция" замечательно укладывается в название того, что нам с вами предстоит разобрать. Одно из пояснений слова "концепция" в Википедии это ведущий замысел. Не смотря на кажущуюся сложность концепция нашей окружности проста и логична, и что важно, её понимание открывает двери к легкому восприятию последующих материалов по тригонометрии. Концепцию числовой окружности я решил передать так, как я это делаю на своих индивидуальных занятиях. Однажды на занятии, когда я преподавал эту тему, моя ученица воскликнула: "Это так просто! Почему нам это не рассказывают в школе?!" Надеюсь в большинстве случаев всё таки рассказывают, но для тех кто пропустил или не успел за текущим учебным процессом, предоставляю возможность прочитать об этом.

Вы заметили, что сайт на котором мы занимаемся называется "Тетрадка в клеточку"? Это не просто так :) Вооружимся тетрадкой в клеточку, циркулем, линейкой, ластиком, простым карандашом и ручкой. Это необходимый и достаточный набор для участия в нашем мастер классе. Мозг человека не сохраняет информацию, которую не считает важной, иначе переполнение памяти было бы неминуемым. Надо передать мозгу сигнал, что эта информация важна. С этой целью обязательно проделайте самостоятельные упражнения.

Начнём! Числовая окружность это... Как вы думаете, что это? Правильно, это прежде всего окружность :) Но это ведь не просто окружность, она ещё и числовая :) По аналогии с числовой прямой, она должна иметь начальную точку отсчёта, то есть ноль. И действительно за начало отсчёта на числовой окружности принята её крайняя правая точка. На рисунке 1 эта точка обозначена буквой A0. Но опять же по аналогии с числовой прямой, наша окружность должна иметь положительное и отрицательное направление. И действительно для числовой окружности принято, что направление против часовой стрелки будет положительным, а по часовой соответственно - отрицательным.

Подытожим: на числовой окружности ноль соответствует крайней правой точке, положительным направлением принято направление против часовой стрелки и отрицательным - по часовой.

Рисунок 1. Числовая окружность

B можно добраться по различным траекториям. Как отмечалось ранее, если двигаться против часовой стрелки, то значение будет положительным, а если по часовой, то - отрицательным. Каждая траектория представляет собой дугу, которой ставится в соответствие угол поворота. Величина угла поворота измеряется в градусной или радианной мере.

Рисунок 2. Числовая окружность

Например: 360° - полный оборот, 180° - половина оборота, 90° - четверть оборота, 270° - три четверти оборота, и т.д. На рисунке 3 показаны некоторые значения в градусах, которые соответствуют точке B. Обратите внимание, как отличаются значения углов соответствующие точке B. Различия в значениях углов кратны 360. Что вполне логично, все траектории от начала отсчета A0 к точке B отличаются на целое количество оборотов, а значит на целое количество углов в 360°.

Рисунок 3. Числовая окружность

Если радиус изогнуть вдоль окружности, получим дугу размером 1 радиан. Это проиллюстрировано на рисунке 4. Проблема состоит в том, что количество радиан в половине окружности является не целым числом, более того это число нельзя записать в виде десятичной дроби с конечным количеством дробных разрядов. Количество радиан в половине окружности примерно равно 3,141592653... Это число, как вы уже наверное догадались, обозначают буквой π. Называют это число константой пи или просто числом π. Таким образом, величина угла равная 180°, в радианной мере равна π радиан. Все значения в радианах удобно привязывать к числу пи.

Как выразить в радианы величину угла, градусная мера которого известна? Изучите примеры, поупражняйтесь с заданиями и проверьте свои знания выполнив тест.

Пример 1Пример 2Пример 3ЗаданияТестирование

Рисунок 4. Радиан на числовой окружности

Длина одного оборота окружности, очевидно равна 2π радиан, а значит значения соответствующие точке на окружности будут отличаться на целое количество длин равных 2π радиан, смотрим рисунок 5.

Ниже приведены ссылки на примеры нахождения точки на числовой окружности по значению угла в радианах. Поупражняйтесь в решении заданий и протестируйте себя.

Пример 3Пример 4ЗаданияТестирование

Что касается числовой окружности, то её концепция нами разобрана, но это ещё не всё. Для тригонометрии нужна не просто числовая окружность, нужна единичная числовая окружность. Добавив прилагательное "единичная" мы добавляем к нашей числовой окружности ещё одно условие - её радиус должен быть равен единице. Это свойство единичной числовой окружности пригодится в дальнейшем.

Рисунок 5. Числовая окружность

Для превращения единичной числовой окружности в тригонометрическую добавим координатную плоскость с началом координат в её центре, как показано на рисунке 6. Обратите внимание, что единичные отрезки осей координатной плоскости, являются радиусами окружности, поскольку ее радиус так же равен единице. Ещё один важный момент: начало отсчёта числовой окружности, в котором находится А0 попадает на пересечение с осью x. В тригонометрической окружности ось y принято называть осью синусов, а ось x - осью косинусов.

Числовая окружность совмещена с координатной плоскостью.
Рисунок 6. Тригонометрическая окружность

Отметим на числовой окружности точку B и найдём её координаты, построив проекции на ось косинусов и ось синусов. Пусть точке B соответствует одно из значений углов равное α, тогда координата x точки B будет равна cosα (косинусу альфа), а координата y - sinα (синусу альфа). Построения проиллюстрированы на рисунке 7. В этом случае значение α называется аргументом тригонометрической функции а координаты точки Bα(x, y), которой соответствует угол α, значением тригонометрической функции: значение косинуса альфа cosα = x , значение синуса альфа sinα = y.

Рисунок 7. Нахождение синуса и косинуса на тригонометрической окружности

К числовой окружности через её крайнюю правую точку проведем касательную, задав ей направление аналогичное направлению оси синусов. Отметим на полученной новой оси начало отсчета в точке пересечения с осью косинусов и единичный отрезок размером в один радиус окружности. Такую ось принято называть осью тангенсов. Построим ещё одну ось. Эта ось будет касаться верхней точки окружности и будет со направлена с осью косинусов. Начало её отсчета отметим в точке пересечения с осью синусов, а единичный отрезок традиционно будет равен радиусу окружности. Такую ось принято называть осью котангенсов. Через начало координат и точку Bα, которой соответствует значение угла α, проведем прямую. Построенная прямая пересекает ось тангенсов и ось котангенсов в определенных точках. Так как оси тангенса и котангенса являются числовыми, то точкам пересечений можно поставить в соответствие числовые значения. Они и есть значения тангенса и котангенса исходного угла альфа. Построения проиллюстрированы на рисунке 8.

Координатную плоскость условно можно разделить на четыре части. Все точки координатной плоскости, находящиеся выше оси x и правее оси y называют первой четвертью. Дальше против часовой стрелки: выше оси x и левее оси y - второй четвертью, ниже оси x и левее оси y - третей четвертью, ниже оси x и правее оси y - четвертой четвертью.

Рисунок 8. Нахождение тангенса и котангенса на тригонометрической окружности

Рассмотрим знаки тригонометрических функций значений углов для точек окружности находящихся в I четверти. Из рисунка 9 видно, что для точки Bα, находящейся в I четверти: cosα > 0, sinα > 0, tgα > 0, ctgα > 0. Из чего делаем вывод, что синус, косинус, тангенс и котангенс аргументов соответствующих точкам I четверти положительны.

Рисунок 9. Определение знаков тригонометрических функций в I четверти

Для II четверти. Из рисунка 10 видно, что для точки Bα, находящейся во II четверти: cosα < 0, sinα > 0, tgα < 0, ctgα < 0. Из чего делаем вывод, что синус аргументов соответствующих точкам II четверти положителен, а вот косинус, тангенс и котангенс - отрицательны.

Рисунок 10. Определение знаков тригонометрических функций во II четверти

Для III четверти. Из рисунка 11 видно, что для точки Bα, находящейся в III четверти: cosα < 0, sinα < 0, tgα > 0, ctgα > 0. Из чего делаем вывод, что синус и косинус аргументов соответствующих точкам III четверти отрицательны, а тангенс и котангенс - положительны.

Рисунок 11. Определение знаков тригонометрических функций в III четверти

Для IV четверти. Из рисунка 12 видно, что для точки Bα, находящейся в IV четверти: cosα > 0, sinα < 0, tgα < 0, ctgα < 0. Из чего делаем вывод, что косинус аргументов соответствующих точкам IV четверти положителен, а синус, тангенс и котангенс - отрицательны.

Рисунок 12. Определение знаков тригонометрических функций в IV четверти

На рисунке 13 показаны знаки синуса в четвертях координатной плоскости.

Рисунок 13. Знаки синуса в различных четвертях тригонометрической окружности

На рисунке 14 показаны знаки косинуса в четвертях координатной плоскости.

Рисунок 14. Знаки косинуса в различных четвертях тригонометрической окружности

На рисунке 15 показаны знаки тангенса и контангенса в четвертях координатной плоскости.

Рисунок 15. Знаки тангенса и контангенса в различных четвертях тригонометрической окружности